Решить задачу

Это задача, в которой один или несколько объектов, где по каждому объекту своя формула q = p ⋅ c, где c - количество в некоторых единицах, p - условно "цена" за эту единицу, и q - условно "цена" за все эти единицы. Обычно "ценой" выступают деньги, но могут быть вес, длина и др. величины. Эту величину будем называть базовой.
Для решения такой задачи нужно понять, сколько всего объектов, и по каждому объекту что является этими q, p и c. Затем выбрать базовую единицу, и если у разных объектов q или p отличаются от неё, то привести их все к базовой. Часто в задаче фигрурирует общая сумма всех q и остаток (для денег это сдача). Условиями могут оформляться разные соотношения между этими величинами - это просто дополнительные уравнения в систему уравнений.

Здесь у нас 2 объекта: семья №1 и семья №2, оформляем их уравнениями вида p=q⋅c :

1. q₁ = p ⋅ c₁, где q₁ - суммарная цена игрушек семьи №1, p - цена игрушки, c₁ - количество игрушек семьи №1;
2. q₂ = p ⋅ c₂, где q₂ - суммарная цена игрушек семьи №2, p - цена игрушки, c₂ - количество игрушек семьи №2;
3. C = c₁ + c₂, где C - общее количество;

Отметим, что цена игрушки у объектов одинаково, поэтому мы её обозначили одинаково как p.
Базовой единицей измерения возьмём руб.
Итак, у нас в формулах есть 6 величин, из которых 3 известные (C=140, q₁=25, q₂=45) и 3 неизвестные (c₁, c₂, p), которые предстоит найти для получения результата.
Для успешного решения неизвестных должно быть столько же или меньше, чем уравнений. В нашем случае одинаково - 3, то есть скорее всего решение найдётся.

В магазине купили 140 елочных игрушек C = 140 игрушек по одинаковой цене. Одна семья заплатила 25 рублей, q₁ = 25 руб а вторая семья 45 рублей. q₂ = 45 руб По скольку игрушек c₁ = ? игрушка, ?c₂ = ? игрушка купила каждая семья?

1. 25 = p ⋅ c₁
2. 45 = p ⋅ c₂
3. 140 = c₁ + c₂

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	25 = p ⋅ c1	45 = p ⋅ c2	140 = c1 + c2	Исходная система уравнений
1 шаг	25 : p = c1	45 = p ⋅ c2	140 = c1 + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
2 шаг	c1 = 25 : p	45 = p ⋅ c2	140 = c1 + c2	Переставили левую и правую части.
3 шаг	c1 = 25 : p	45 = p ⋅ c2	140 = 25 : p + c2	Заменили c1 на 25 : p.
4 шаг	c1 = 25 : p	45 : p = c2	140 = 25 : p + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
5 шаг	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	140 = 25 : p + c2	Переставили левую и правую части.
6 шаг	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	140 = 25 : p + 45 : p	Заменили c2 на 45 : p.
7 шаг	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	140 = 70 : p	Сложили числа 25 + 45.
8 шаг	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	140/70 = 1 : p	Разделили правую и левую части на 70.
9 шаг	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	2 = 1 : p
10 шаг	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	2 ⋅ p = 1	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого знаменателя в левый числитель).
11 шаг	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	p = 1/2	Разделили правую и левую части на 2.
12 шаг	c1 = 25 : 1/2	c2 = 45 : 1/2	p = 1/2	Ур.1: Заменили p на 1/2. Ур.2: Заменили p на 1/2.
13 шаг	c1 = 50	c2 = 90	p = 1/2	Готово!

Школьный способ для этого типа задач состоит в том, чтобы составить одно уравнение с одной неизвестной величиной. А остальные неизвестные вычисляются на основе неизвестной из первого уравнения.

1. 140 = 25 : p + 45 : p
2. c₁ = 25 : p
3. c₂ = 45 : p

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	140 = 25 : p + 45 : p	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	Исходная система уравнений
1 шаг	140 = 70 : p	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	Сложили числа 25 + 45.
2 шаг	140/70 = 1 : p	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	Разделили правую и левую части на 70.
3 шаг	2 = 1 : p	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p
4 шаг	2 ⋅ p = 1	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого знаменателя в левый числитель).
5 шаг	p = 1/2	c1 = 25 : p	c2 = 45 : p	Разделили правую и левую части на 2.
6 шаг	p = 1/2	c1 = 25 : 1/2	c2 = 45 : 1/2	Ур.2: Заменили p на 1/2. Ур.3: Заменили p на 1/2.
7 шаг	p = 1/2	c1 = 50	c2 = 90	Готово!