Решить задачу

Это задача, в которой один или несколько объектов, где по каждому объекту своя формула q = p ⋅ c, где c - количество в некоторых единицах, p - условно "цена" за эту единицу, и q - условно "цена" за все эти единицы. Обычно "ценой" выступают деньги, но могут быть вес, длина и др. величины. Эту величину будем называть базовой.
Для решения такой задачи нужно понять, сколько всего объектов, и по каждому объекту что является этими q, p и c. Затем выбрать базовую единицу, и если у разных объектов q или p отличаются от неё, то привести их все к базовой. Часто в задаче фигрурирует общая сумма всех q и остаток (для денег это сдача). Условиями могут оформляться разные соотношения между этими величинами - это просто дополнительные уравнения в систему уравнений.

Здесь у нас 2 объекта: мальчик №1 и мальчик №2, оформляем их уравнениями вида p=q⋅c :

1. q₁ = p ⋅ c₁, где q₁ - суммарная цена ручек мальчика №1, p - цена ручки, c₁ - количество ручек мальчика №1;
2. q₂ = p ⋅ c₂, где q₂ - суммарная цена ручек мальчика №2, p - цена ручки, c₂ - количество ручек мальчика №2;
3. C = c₁ + c₂, где C - общее количество;

Отметим, что цена ручки у объектов одинаково, поэтому мы её обозначили одинаково как p.
Базовой единицей измерения возьмём руб.
Итак, у нас в формулах есть 6 величин, из которых 3 известные (C=10, q₁=30, q₂=20) и 3 неизвестные (c₁, c₂, p), которые предстоит найти для получения результата.
Для успешного решения неизвестных должно быть столько же или меньше, чем уравнений. В нашем случае одинаково - 3, то есть скорее всего решение найдётся.

Два мальчика купили 10 ручек C = 10 ручек по одинаковой цене. Один мальчик заплатил 30 рублей, q₁ = 30 руб а второй - 20 рублей. q₂ = 20 руб По скольку ручек c₁ = ? ручка, ?c₂ = ? ручка купил каждый мальчик?

1. 30 = p ⋅ c₁
2. 20 = p ⋅ c₂
3. 10 = c₁ + c₂

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	30 = p ⋅ c1	20 = p ⋅ c2	10 = c1 + c2	Исходная система уравнений
1 шаг	30 : p = c1	20 = p ⋅ c2	10 = c1 + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
2 шаг	c1 = 30 : p	20 = p ⋅ c2	10 = c1 + c2	Переставили левую и правую части.
3 шаг	c1 = 30 : p	20 = p ⋅ c2	10 = 30 : p + c2	Заменили c1 на 30 : p.
4 шаг	c1 = 30 : p	20 : p = c2	10 = 30 : p + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
5 шаг	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	10 = 30 : p + c2	Переставили левую и правую части.
6 шаг	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	10 = 30 : p + 20 : p	Заменили c2 на 20 : p.
7 шаг	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	10 = 50 : p	Сложили числа 30 + 20.
8 шаг	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	10/50 = 1 : p	Разделили правую и левую части на 50.
9 шаг	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	1/5 = 1 : p
10 шаг	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	1/5 ⋅ p = 1	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого знаменателя в левый числитель).
11 шаг	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	p = 5	Разделили правую и левую части на 1/5.
12 шаг	c1 = 30 : 5	c2 = 20 : 5	p = 5	Ур.1: Заменили p на 5. Ур.2: Заменили p на 5.
13 шаг	c1 = 30/5	c2 = 20/5	p = 5	Готово!
14 шаг	c1 = 6	c2 = 4	p = 5	Готово!

Школьный способ для этого типа задач состоит в том, чтобы составить одно уравнение с одной неизвестной величиной. А остальные неизвестные вычисляются на основе неизвестной из первого уравнения.

1. 10 = 30 : p + 20 : p
2. c₁ = 30 : p
3. c₂ = 20 : p

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	10 = 30 : p + 20 : p	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	Исходная система уравнений
1 шаг	10 = 50 : p	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	Сложили числа 30 + 20.
2 шаг	10/50 = 1 : p	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	Разделили правую и левую части на 50.
3 шаг	1/5 = 1 : p	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p
4 шаг	1/5 ⋅ p = 1	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого знаменателя в левый числитель).
5 шаг	p = 5	c1 = 30 : p	c2 = 20 : p	Разделили правую и левую части на 1/5.
6 шаг	p = 5	c1 = 30 : 5	c2 = 20 : 5	Ур.2: Заменили p на 5. Ур.3: Заменили p на 5.
7 шаг	p = 5	c1 = 30/5	c2 = 20/5	Готово!
8 шаг	p = 5	c1 = 6	c2 = 4	Готово!