Решить задачу

Это задача, в которой один или несколько объектов, где по каждому объекту своя формула q = p ⋅ c, где c - количество в некоторых единицах, p - условно "цена" за эту единицу, и q - условно "цена" за все эти единицы. Обычно "ценой" выступают деньги, но могут быть вес, длина и др. величины. Эту величину будем называть базовой.
Для решения такой задачи нужно понять, сколько всего объектов, и по каждому объекту что является этими q, p и c. Затем выбрать базовую единицу, и если у разных объектов q или p отличаются от неё, то привести их все к базовой. Часто в задаче фигрурирует общая сумма всех q и остаток (для денег это сдача). Условиями могут оформляться разные соотношения между этими величинами - это просто дополнительные уравнения в систему уравнений.

Здесь у нас 2 объекта: Ваня и Петя, оформляем их уравнениями вида p=q⋅c :

1. q_ван = p ⋅ c_ван, где q_ван - суммарное число дощечек Вани, p - число дощечек на скворечник, c_ван - количество скворечников Вани;
2. q_пет = p ⋅ c_пет, где q_пет - суммарное число дощечек Пети, p - число дощечек на скворечник, c_пет - количество скворечников Пети;
3. C = c_ван + c_пет, где C - общее количество;

Отметим, что число дощечек на скворечник у объектов одинаково, поэтому мы её обозначили одинаково как p.
Базовой единицей измерения возьмём дощечка.
Итак, у нас в формулах есть 6 величин, из которых 3 известные (C=i, q_ван=w, q_пет=r) и 3 неизвестные (c_ван, c_пет, p), которые предстоит найти для получения результата.
Для успешного решения неизвестных должно быть столько же или меньше, чем уравнений. В нашем случае одинаково - 3, то есть скорее всего решение найдётся.

У Вани было w дощечек, q_ван = w дощечек а у Пети r дощечек. q_пет = r дощечек Из всех дощечек сделали i скворечников. C = i скворечников По сколько дощечек p = ? дощечка пошло на каждый скворечник?

1. w = p ⋅ c_ван
2. r = p ⋅ c_пет
3. i = c_ван + c_пет

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	w = p ⋅ cван	r = p ⋅ cпет	i = cван + cпет	Исходная система уравнений
1 шаг	w : p = cван	r = p ⋅ cпет	i = cван + cпет	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
2 шаг	cван = w : p	r = p ⋅ cпет	i = cван + cпет	Переставили левую и правую части.
3 шаг	cван = w : p	r = p ⋅ cпет	i = w : p + cпет	Заменили cван на w : p.
4 шаг	cван = w : p	r : p = cпет	i = w : p + cпет	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
5 шаг	cван = w : p	cпет = r : p	i = w : p + cпет	Переставили левую и правую части.
6 шаг	cван = w : p	cпет = r : p	i = w : p + r : p	Заменили cпет на r : p.
7 шаг	cван = w : p	cпет = r : p	p = w : i + r : i	Умножаем левую и правую части на p (фактически переносим из правого знаменателя в левый числитель) и делим на левую часть (переносим из левую часть в знаменатель правой части).
8 шаг	cван = w : (w : i + r : i)	cпет = r : (w : i + r : i)	p = w : i + r : i	Ур.1: Заменили p на w : i + r : i. Ур.2: Заменили p на w : i + r : i.
9 шаг	cван = (w ⋅ i) : (w + r)	cпет = (r ⋅ i) : (w + r)	p = w : i + r : i	Ур.1: Из знаменателя знаменателя i перенесли в числитель x:(y:z) = (x⋅z):y. Ур.2: Из знаменателя знаменателя i перенесли в числитель x:(y:z) = (x⋅z):y.
10 шаг	cван = (w ⋅ i) : (w + r)	cпет = (r ⋅ i) : (w + r)	p = (w + r) : i	Выносим i за скобки.

Школьный способ для этого типа задач состоит в том, чтобы составить одно уравнение с одной неизвестной величиной.

1. i = w : p + r : p

	Уравнение 1	Комментарий
0 шаг	i = w : p + r : p	Исходная система уравнений
1 шаг	p = w : i + r : i	Умножаем левую и правую части на p (фактически переносим из правого знаменателя в левый числитель) и делим на левую часть (переносим из левую часть в знаменатель правой части).
2 шаг	p = (w + r) : i	Выносим i за скобки.