Решить задачу

Это задача, в которой один или несколько объектов, где по каждому объекту своя формула q = p ⋅ c, где c - количество в некоторых единицах, p - условно "цена" за эту единицу, и q - условно "цена" за все эти единицы. Обычно "ценой" выступают деньги, но могут быть вес, длина и др. величины. Эту величину будем называть базовой.
Для решения такой задачи нужно понять, сколько всего объектов, и по каждому объекту что является этими q, p и c. Затем выбрать базовую единицу, и если у разных объектов q или p отличаются от неё, то привести их все к базовой. Часто в задаче фигрурирует общая сумма всех q и остаток (для денег это сдача). Условиями могут оформляться разные соотношения между этими величинами - это просто дополнительные уравнения в систему уравнений.

Здесь у нас 2 объекта: товарищ №1 и товарищ №2, оформляем их уравнениями вида p=q⋅c :

1. q₁ = p ⋅ c₁, где q₁ - суммарная цена кассет товарища №1, p - цена кассеты, c₁ - количество кассет товарища №1;
2. q₂ = p ⋅ c₂, где q₂ - суммарная цена кассет товарища №2, p - цена кассеты, c₂ - количество кассет товарища №2;
3. C = c₁ + c₂, где C - общее количество;

Отметим, что цена кассеты у объектов одинаково, поэтому мы её обозначили одинаково как p.
Базовой единицей измерения возьмём руб.
Итак, у нас в формулах есть 6 величин, из которых 3 известные (C=p, q₁=f, q₂=d) и 3 неизвестные (c₁, c₂, p), которые предстоит найти для получения результата.
Для успешного решения неизвестных должно быть столько же или меньше, чем уравнений. В нашем случае одинаково - 3, то есть скорее всего решение найдётся.

Два товарища купили p кассет C = p кассет по одинаковой цене. Один заплатил f рублей, q₁ = f руб а другой d рублей. q₂ = d руб Сколько кассет c₁ = ? кассета, ?c₂ = ? кассета купил каждый мальчик?

1. f = p ⋅ c₁
2. d = p ⋅ c₂
3. p = c₁ + c₂

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	f = p ⋅ c1	d = p ⋅ c2	p = c1 + c2	Исходная система уравнений
1 шаг	f : p = c1	d = p ⋅ c2	p = c1 + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
2 шаг	c1 = f : p	d = p ⋅ c2	p = c1 + c2	Переставили левую и правую части.
3 шаг	c1 = f : p	d = p ⋅ c2	p = f : p + c2	Заменили c1 на f : p.
4 шаг	c1 = f : p	d : p = c2	p = f : p + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
5 шаг	c1 = f : p	c2 = d : p	p = f : p + c2	Переставили левую и правую части.
6 шаг	c1 = f : p	c2 = d : p	p = f : p + d : p	Заменили c2 на d : p.
7 шаг	c1 = f : p	c2 = d : p	p = f : p + d : p	Умножаем левую и правую части на p (фактически переносим из правого знаменателя в левый числитель) и делим на левую часть (переносим из левую часть в знаменатель правой части).
8 шаг	c1 = f : (f : p + d : p)	c2 = d : (f : p + d : p)	p = f : p + d : p	Ур.1: Заменили p на f : p + d : p. Ур.2: Заменили p на f : p + d : p.
9 шаг	c1 = (f ⋅ p) : (f + d)	c2 = (d ⋅ p) : (f + d)	p = f : p + d : p	Ур.1: Из знаменателя знаменателя p перенесли в числитель x:(y:z) = (x⋅z):y. Ур.2: Из знаменателя знаменателя p перенесли в числитель x:(y:z) = (x⋅z):y.
10 шаг	c1 = (f ⋅ p) : (f + d)	c2 = (d ⋅ p) : (f + d)	p = (f + d) : p	Выносим p за скобки.

Школьный способ для этого типа задач состоит в том, чтобы составить одно уравнение с одной неизвестной величиной. А остальные неизвестные вычисляются на основе неизвестной из первого уравнения.

1. p = f : p + d : p
2. c₁ = f : p
3. c₂ = d : p

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	p = f : p + d : p	c1 = f : p	c2 = d : p	Исходная система уравнений
1 шаг	p = f : p + d : p	c1 = f : p	c2 = d : p	Умножаем левую и правую части на p (фактически переносим из правого знаменателя в левый числитель) и делим на левую часть (переносим из левую часть в знаменатель правой части).
2 шаг	p = f : p + d : p	c1 = f : (f : p + d : p)	c2 = d : (f : p + d : p)	Ур.2: Заменили p на f : p + d : p. Ур.3: Заменили p на f : p + d : p.
3 шаг	p = f : p + d : p	c1 = (f ⋅ p) : (f + d)	c2 = (d ⋅ p) : (f + d)	Ур.2: Из знаменателя знаменателя p перенесли в числитель x:(y:z) = (x⋅z):y. Ур.3: Из знаменателя знаменателя p перенесли в числитель x:(y:z) = (x⋅z):y.
4 шаг	p = (f + d) : p	c1 = (f ⋅ p) : (f + d)	c2 = (d ⋅ p) : (f + d)	Выносим p за скобки.