Решить задачу

Это задача, в которой один или несколько объектов, где по каждому объекту своя формула q = p ⋅ c, где c - количество в некоторых единицах, p - условно "цена" за эту единицу, и q - условно "цена" за все эти единицы. Обычно "ценой" выступают деньги, но могут быть вес, длина и др. величины. Эту величину будем называть базовой.
Для решения такой задачи нужно понять, сколько всего объектов, и по каждому объекту что является этими q, p и c. Затем выбрать базовую единицу, и если у разных объектов q или p отличаются от неё, то привести их все к базовой. Часто в задаче фигрурирует общая сумма всех q и остаток (для денег это сдача). Условиями могут оформляться разные соотношения между этими величинами - это просто дополнительные уравнения в систему уравнений.

Здесь у нас 2 объекта: подруга №1 и подруга №2, оформляем их уравнениями вида p=q⋅c :

1. q₁ = p ⋅ c₁, где q₁ - суммарная цена мотков подруги №1, p - цена мотка, c₁ - количество мотков подруги №1;
2. q₂ = p ⋅ c₂, где q₂ - суммарная цена мотков подруги №2, p - цена мотка, c₂ - количество мотков подруги №2;
3. C = c₁ + c₂, где C - общее количество;

Отметим, что цена мотка у объектов одинаково, поэтому мы её обозначили одинаково как p.
Базовой единицей измерения возьмём руб.
Итак, у нас в формулах есть 6 величин, из которых 3 известные (C=9, q₁=32, q₂=40) и 3 неизвестные (c₁, c₂, p), которые предстоит найти для получения результата.
Для успешного решения неизвестных должно быть столько же или меньше, чем уравнений. В нашем случае одинаково - 3, то есть скорее всего решение найдётся.

2 подруги купили 9 мотков C = 9 мотков шерсти поодинаковой цене. Одна заплатила за шерсть 32 руб, q₁ = 32 руб а другая 40 руб. q₂ = 40 руб Сколько мотков c₁ = ? моток, ?c₂ = ? моток шерсти купила каждая подруга?

1. 32 = p ⋅ c₁
2. 40 = p ⋅ c₂
3. 9 = c₁ + c₂

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	32 = p ⋅ c1	40 = p ⋅ c2	9 = c1 + c2	Исходная система уравнений
1 шаг	32 : p = c1	40 = p ⋅ c2	9 = c1 + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
2 шаг	c1 = 32 : p	40 = p ⋅ c2	9 = c1 + c2	Переставили левую и правую части.
3 шаг	c1 = 32 : p	40 = p ⋅ c2	9 = 32 : p + c2	Заменили c1 на 32 : p.
4 шаг	c1 = 32 : p	40 : p = c2	9 = 32 : p + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
5 шаг	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	9 = 32 : p + c2	Переставили левую и правую части.
6 шаг	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	9 = 32 : p + 40 : p	Заменили c2 на 40 : p.
7 шаг	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	9 = 72 : p	Сложили числа 32 + 40.
8 шаг	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	9/72 = 1 : p	Разделили правую и левую части на 72.
9 шаг	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	1/8 = 1 : p
10 шаг	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	1/8 ⋅ p = 1	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого знаменателя в левый числитель).
11 шаг	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	p = 8	Разделили правую и левую части на 1/8.
12 шаг	c1 = 32 : 8	c2 = 40 : 8	p = 8	Ур.1: Заменили p на 8. Ур.2: Заменили p на 8.
13 шаг	c1 = 32/8	c2 = 40/8	p = 8	Готово!
14 шаг	c1 = 4	c2 = 5	p = 8	Готово!

Школьный способ для этого типа задач состоит в том, чтобы составить одно уравнение с одной неизвестной величиной. А остальные неизвестные вычисляются на основе неизвестной из первого уравнения.

1. 9 = 32 : p + 40 : p
2. c₁ = 32 : p
3. c₂ = 40 : p

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	9 = 32 : p + 40 : p	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	Исходная система уравнений
1 шаг	9 = 72 : p	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	Сложили числа 32 + 40.
2 шаг	9/72 = 1 : p	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	Разделили правую и левую части на 72.
3 шаг	1/8 = 1 : p	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p
4 шаг	1/8 ⋅ p = 1	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого знаменателя в левый числитель).
5 шаг	p = 8	c1 = 32 : p	c2 = 40 : p	Разделили правую и левую части на 1/8.
6 шаг	p = 8	c1 = 32 : 8	c2 = 40 : 8	Ур.2: Заменили p на 8. Ур.3: Заменили p на 8.
7 шаг	p = 8	c1 = 32/8	c2 = 40/8	Готово!
8 шаг	p = 8	c1 = 4	c2 = 5	Готово!