Решить задачу

Это задача, в которой один или несколько объектов, где по каждому объекту своя формула q = p ⋅ c, где c - количество в некоторых единицах, p - условно "цена" за эту единицу, и q - условно "цена" за все эти единицы. Обычно "ценой" выступают деньги, но могут быть вес, длина и др. величины. Эту величину будем называть базовой.
Для решения такой задачи нужно понять, сколько всего объектов, и по каждому объекту что является этими q, p и c. Затем выбрать базовую единицу, и если у разных объектов q или p отличаются от неё, то привести их все к базовой. Часто в задаче фигрурирует общая сумма всех q и остаток (для денег это сдача). Условиями могут оформляться разные соотношения между этими величинами - это просто дополнительные уравнения в систему уравнений.

Здесь у нас 2 объекта: мальчик №1 и мальчик №2, оформляем их уравнениями вида p=q⋅c :

1. q₁ = p ⋅ c₁, где q₁ - суммарная цена солдатиков мальчика №1, p - цена солдатика, c₁ - количество солдатиков мальчика №1;
2. q₂ = p ⋅ c₂, где q₂ - суммарная цена солдатиков мальчика №2, p - цена солдатика, c₂ - количество солдатиков мальчика №2;
3. C = c₁ + c₂, где C - общее количество;

Отметим, что цена солдатика у объектов одинаково, поэтому мы её обозначили одинаково как p.
Базовой единицей измерения возьмём руб.
Итак, у нас в формулах есть 6 величин, из которых 3 известные (C=9, q₁=12, q₂=42) и 3 неизвестные (c₁, c₂, p), которые предстоит найти для получения результата.
Для успешного решения неизвестных должно быть столько же или меньше, чем уравнений. В нашем случае одинаково - 3, то есть скорее всего решение найдётся.

Два мальчика купили 9 солдатиков C = 9 солдатиков поодинаковой цене. Один заплатил за солдатиков 12 руб, q₁ = 12 руб а другой 42 руб. q₂ = 42 руб Сколько солдатиков c₁ = ? солдатик, ?c₂ = ? солдатик купил каждый мальчик?

1. 12 = p ⋅ c₁
2. 42 = p ⋅ c₂
3. 9 = c₁ + c₂

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	12 = p ⋅ c1	42 = p ⋅ c2	9 = c1 + c2	Исходная система уравнений
1 шаг	12 : p = c1	42 = p ⋅ c2	9 = c1 + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
2 шаг	c1 = 12 : p	42 = p ⋅ c2	9 = c1 + c2	Переставили левую и правую части.
3 шаг	c1 = 12 : p	42 = p ⋅ c2	9 = 12 : p + c2	Заменили c1 на 12 : p.
4 шаг	c1 = 12 : p	42 : p = c2	9 = 12 : p + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
5 шаг	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	9 = 12 : p + c2	Переставили левую и правую части.
6 шаг	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	9 = 12 : p + 42 : p	Заменили c2 на 42 : p.
7 шаг	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	9 = 54 : p	Сложили числа 12 + 42.
8 шаг	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	9/54 = 1 : p	Разделили правую и левую части на 54.
9 шаг	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	1/6 = 1 : p
10 шаг	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	1/6 ⋅ p = 1	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого знаменателя в левый числитель).
11 шаг	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	p = 6	Разделили правую и левую части на 1/6.
12 шаг	c1 = 12 : 6	c2 = 42 : 6	p = 6	Ур.1: Заменили p на 6. Ур.2: Заменили p на 6.
13 шаг	c1 = 12/6	c2 = 42/6	p = 6	Готово!
14 шаг	c1 = 2	c2 = 7	p = 6	Готово!

Школьный способ для этого типа задач состоит в том, чтобы составить одно уравнение с одной неизвестной величиной. А остальные неизвестные вычисляются на основе неизвестной из первого уравнения.

1. 9 = 12 : p + 42 : p
2. c₁ = 12 : p
3. c₂ = 42 : p

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	9 = 12 : p + 42 : p	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	Исходная система уравнений
1 шаг	9 = 54 : p	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	Сложили числа 12 + 42.
2 шаг	9/54 = 1 : p	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	Разделили правую и левую части на 54.
3 шаг	1/6 = 1 : p	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p
4 шаг	1/6 ⋅ p = 1	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого знаменателя в левый числитель).
5 шаг	p = 6	c1 = 12 : p	c2 = 42 : p	Разделили правую и левую части на 1/6.
6 шаг	p = 6	c1 = 12 : 6	c2 = 42 : 6	Ур.2: Заменили p на 6. Ур.3: Заменили p на 6.
7 шаг	p = 6	c1 = 12/6	c2 = 42/6	Готово!
8 шаг	p = 6	c1 = 2	c2 = 7	Готово!