Решить задачу

Это задача, в которой один или несколько объектов, где по каждому объекту своя формула q = p ⋅ c, где c - количество в некоторых единицах, p - условно "цена" за эту единицу, и q - условно "цена" за все эти единицы. Обычно "ценой" выступают деньги, но могут быть вес, длина и др. величины. Эту величину будем называть базовой.
Для решения такой задачи нужно понять, сколько всего объектов, и по каждому объекту что является этими q, p и c. Затем выбрать базовую единицу, и если у разных объектов q или p отличаются от неё, то привести их все к базовой. Часто в задаче фигрурирует общая сумма всех q и остаток (для денег это сдача). Условиями могут оформляться разные соотношения между этими величинами - это просто дополнительные уравнения в систему уравнений.

Здесь у нас 2 объекта: мальчик №1 и мальчик №2, оформляем их уравнениями вида p=q⋅c :

1. q₁ = p ⋅ c₁, где q₁ - суммарная цена кассет мальчика №1, p - цена кассеты, c₁ - количество кассет мальчика №1;
2. q₂ = p ⋅ c₂, где q₂ - суммарная цена кассет мальчика №2, p - цена кассеты, c₂ - количество кассет мальчика №2;
3. C = c₁ + c₂, где C - общее количество;

Отметим, что цена кассеты у объектов одинаково, поэтому мы её обозначили одинаково как p.
Базовой единицей измерения возьмём руб.
Итак, у нас в формулах есть 6 величин, из которых 3 известные (C=8, q₁=20, q₂=12) и 3 неизвестные (c₁, c₂, p), которые предстоит найти для получения результата.
Для успешного решения неизвестных должно быть столько же или меньше, чем уравнений. В нашем случае одинаково - 3, то есть скорее всего решение найдётся.

Два мальчика купили 8 кассет C = 8 кассет по одинаковой цене. Один заплатил за кассеты 20 рублей, q₁ = 20 руб а другой 12 руб. q₂ = 12 руб Сколько кассет c₁ = ? кассета, ?c₂ = ? кассета купил каждый мальчик?

1. 20 = p ⋅ c₁
2. 12 = p ⋅ c₂
3. 8 = c₁ + c₂

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	20 = p ⋅ c1	12 = p ⋅ c2	8 = c1 + c2	Исходная система уравнений
1 шаг	20 : p = c1	12 = p ⋅ c2	8 = c1 + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
2 шаг	c1 = 20 : p	12 = p ⋅ c2	8 = c1 + c2	Переставили левую и правую части.
3 шаг	c1 = 20 : p	12 = p ⋅ c2	8 = 20 : p + c2	Заменили c1 на 20 : p.
4 шаг	c1 = 20 : p	12 : p = c2	8 = 20 : p + c2	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого числителя в левый знаменатель).
5 шаг	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	8 = 20 : p + c2	Переставили левую и правую части.
6 шаг	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	8 = 20 : p + 12 : p	Заменили c2 на 12 : p.
7 шаг	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	8 = 32 : p	Сложили числа 20 + 12.
8 шаг	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	8/32 = 1 : p	Разделили правую и левую части на 32.
9 шаг	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	1/4 = 1 : p
10 шаг	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	1/4 ⋅ p = 1	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого знаменателя в левый числитель).
11 шаг	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	p = 4	Разделили правую и левую части на 1/4.
12 шаг	c1 = 20 : 4	c2 = 12 : 4	p = 4	Ур.1: Заменили p на 4. Ур.2: Заменили p на 4.
13 шаг	c1 = 20/4	c2 = 12/4	p = 4	Готово!
14 шаг	c1 = 5	c2 = 3	p = 4	Готово!

Школьный способ для этого типа задач состоит в том, чтобы составить одно уравнение с одной неизвестной величиной. А остальные неизвестные вычисляются на основе неизвестной из первого уравнения.

1. 8 = 20 : p + 12 : p
2. c₁ = 20 : p
3. c₂ = 12 : p

	Уравнение 1	Уравнение 2	Уравнение 3	Комментарий
0 шаг	8 = 20 : p + 12 : p	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	Исходная система уравнений
1 шаг	8 = 32 : p	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	Сложили числа 20 + 12.
2 шаг	8/32 = 1 : p	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	Разделили правую и левую части на 32.
3 шаг	1/4 = 1 : p	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p
4 шаг	1/4 ⋅ p = 1	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	Умножили правую и левую части на p (перенесли из правого знаменателя в левый числитель).
5 шаг	p = 4	c1 = 20 : p	c2 = 12 : p	Разделили правую и левую части на 1/4.
6 шаг	p = 4	c1 = 20 : 4	c2 = 12 : 4	Ур.2: Заменили p на 4. Ур.3: Заменили p на 4.
7 шаг	p = 4	c1 = 20/4	c2 = 12/4	Готово!
8 шаг	p = 4	c1 = 5	c2 = 3	Готово!